Qualquer circuito linear visto por dois terminais pode ser substituído, do ponto de vista desses terminais, por um equivalente de Thévenin: uma fonte ideal de tensão \(V_\text{th}\) em série com uma impedância \(Z_\text{th}\). Para uma carga \(Z_L\) conectada a esses terminais, o comportamento tensão-corrente é idêntico ao do circuito original. Essa equivalência simplifica a análise de como a carga “enxerga” a rede, permitindo prever amplitude, fase e potência na carga.
2. Definições matemáticas
Tensão de Thévenin \(V_\text{th}\): é a tensão em circuito aberto (open-circuit) nos terminais de interesse. \(V_\text{th} \;=\; V_{\text{oc}}\)
Impedância de Thévenin \(Z_\text{th}\): é a impedância equivalente vista a partir dos terminais com todas as fontes independentes desativadas (fontes de tensão → curto; fontes de corrente → circuito aberto). Em CA, \(Z_\text{th}\) é, em geral, complexa: \[Z_\text{th}=R_\text{th}+jX_\text{th}\].
Tensão na carga: \[V_L(j\omega) \;=\; V_\text{th}(j\omega)\,\frac{Z_L(j\omega)}{Z_\text{th}(j\omega)+Z_L(j\omega)}\] A amplitude e a fase de \(V_L\) dependem do divisor de impedâncias \(Z_\text{th}–Z_L\).
Corrente na carga:\[I_L(j\omega) \;=\; \frac{V_\text{th}(j\omega)}{Z_\text{th}(j\omega)+Z_L(j\omega)}\]
Potência média na carga (senoidal, regime permanente): \[P_L \;=\; \frac{|V_\text{th}|^2}{2}\;\frac{\Re\{Z_L\}}{|Z_\text{th}+Z_L|^2}\] A transferência de potência máxima em CA (linhas curtas, sem efeitos distribuídos) ocorre quando \[Z_L \;=\; Z_\text{th}^\* \quad(\text{conjugado complexo})\] Em CC (ou impedâncias puramente reais), reduz-se a \(R_L = R_\text{th}\).
3. Procedimento prático (cálculo de \(V_\text{th}\) e \(Z_\text{th})\)
Passo A — \(V_\text{th}:\) Remova a carga \(Z_L\) e calcule a tensão em aberto nos terminais (método nodal, malhas, superposição, etc.).
Passo B — \(Z_\text{th}\) (sem fontes dependentes):
Desative fontes independentes: • Fonte de tensão ideal →\to curto-circuito. • Fonte de corrente ideal →\to circuito aberto.
Calcule a impedância vista dos terminais: associações série/paralelo, equivalências de impedância de capacitores/indutores (ZC=1/jωC, ZL=jωL)(Z_C=1/j\omega C,\; Z_L=j\omega L), etc.
Passo C — ZthZ_\text{th} (com fontes dependentes):
Injete um sinal-teste (tensão ou corrente) nos terminais e meça a resposta para obter Zth=Vteste/ItesteZ_\text{th}=V_\text{teste}/I_\text{teste}. As fontes dependentes ficam ativas, pois dependem de variáveis internas.
Passo D — recomposição com a carga: Conecte \(Z_L\) ao equivalente e use o divisor de impedâncias para obter \(V_L\), \(I_L\) e \(P_L\).
4. Interpretação física para medições
No contexto de instrumentos (geradores e osciloscópios), o circuito até os terminais da carga pode ser modelado por Thévenin:
O gerador é bem representado por \(V_\text{th}\) em série com \(Z_\text{th}\approx 50\,\Omega\) (na indústria de RF).
O osciloscópio apresenta uma impedância de entrada \(Z_L\) (típ. \(1\,\text{M}\Omega \parallel C_\text{in}\), ou 50 Ω quando selecionado/terminado).
A tensão que você lê no osciloscópio é exatamente o resultado do divisor \(Z_\text{th}–Z_L\).
Em frequências elevadas, \(C_\text{in}\) torna \(Z_L\) dependente da frequência, alterando amplitude e fase do sinal medido.
Observação importante: a “calibração” do mostrador de muitos geradores assume carga de 50 Ω. Se você mede em Hi-Z, o valor exibido pode não coincidir com o que aparece no osciloscópio — tema que exploraremos nas seções práticas.
5. Relação com Norton (dualidade útil)
O equivalente de Norton é dual ao de Thévenin: uma fonte ideal de corrente \(I_\text{n}\) em paralelo com \(Z_\text{th}\), onde \(I_\text{n}=\frac{V_\text{th}}{Z_\text{th}},\qquad Z_\text{n}=Z_\text{th}\).
A escolha entre Thévenin e Norton é de conveniência; em medições de tensão (osciloscópio) o modelo de Thévenin é geralmente mais intuitivo.
Aplicações práticas: Geradores de Função e Osciloscópios
1. O gerador como fonte de Thévenin
Um gerador de funções é, essencialmente, uma fonte de tensão \(V_\text{th}\) em série com uma impedância interna de \(R_s = 50\,\Omega\). Esse modelo é aplicado diretamente da teoria de Thévenin: o gerador não é uma fonte ideal, mas sim uma fonte ideal de tensão acrescida de um resistor que representa sua saída. Assim, ao conectar uma carga R_L (neste caso, a entrada do osciloscópio), o sinal medido será: \(V_L = V_\text{th} \cdot \frac{R_L}{R_s + R_L}\)
onde \(V_\text{th} = 2 \cdot V_\text{set}\), porque o gerador é calibrado para fornecer \(V_\text{set}\) quando está conectado a 50 Ω.
2. O osciloscópio como carga \(R_L\)
O osciloscópio pode ser configurado para diferentes impedâncias de entrada, no caso osciloscópios para uso em RF que tem frequências de trabalho elevadas na casa dos Ghz, já osciloscópios comum sempre terão a entrada Hi-Z:
1 MΩ (Hi-Z): entrada de alta impedância, geralmente em paralelo com 10–20 pF.
50 Ω: entrada casada para medições de alta frequência.
Quando não há a possibilidade de definir a carga no osciloscópio é usado um terminador adequado.
Na prática, isso cria diferentes divisores de tensão com a impedância do gerador.
Resultado: o valor medido é 20 % maior do que o exibido no gerador.
4. Implicações práticas
Baixas frequências (áudio, sinais lentos): usar entrada Hi-Z não causa problemas relevantes, mas o engenheiro deve estar consciente do “×2” na leitura.
Altas frequências (RF, pulsos rápidos): é necessário casamento de 50 Ω. Caso contrário, surgem reflexões no cabo coaxial, distorcendo amplitude e forma de onda.
75 Ω (vídeo analógico, sistemas específicos): gera erro de leitura e reflexões se usado com cabos de 50 Ω.
Assim, a teoria de Thévenin explica exatamente por que o osciloscópio não lê o mesmo valor mostrado no gerador: o resultado é sempre a divisão entre impedância do gerador e a carga.
Casos comparativos de impedâncias (50 Ω, 75 Ω e Hi-Z)
1. Caso clássico: casamento em 50 Ω
Quando o gerador e o osciloscópio estão configurados em 50 Ω, temos o divisor de tensão perfeito: \[V_L = 2 \cdot V_\text{set} \cdot \frac{50}{50+50} = V_\text{set}\]
Comportamento prático:
O sinal aparece com a amplitude exata ajustada no painel do gerador.
Não há reflexões no cabo coaxial (impedância característica também de 50 Ω).
A forma de onda medida corresponde fielmente ao sinal original, mesmo em altas frequências.
Situação típica: testes de RF, medições com cabos curtos de alta qualidade, ou quando se deseja garantir precisão em pulsos de subida/descida rápidas.
2. Entrada Hi-Z (≈ 1 MΩ ∥ 10–20 pF)
Neste caso, a carga é tão grande em relação à fonte que praticamente não há queda de tensão no resistor de saída. \[V_L \approx 2 \cdot V_\text{set}\]
Comportamento prático:
O osciloscópio mostra o dobro da amplitude configurada no gerador (se o gerador estiver em modo “50 Ω load”).
Para sinais de baixa frequência (kHz a poucos MHz), isso não traz distorções significativas.
Para sinais de alta frequência, a capacitância da entrada (10–20 pF) cria uma reatância \(X_C = \frac{1}{2\pi f C}\). Em frequências elevadas, \(X_C\) cai, tornando a entrada efetivamente mais próxima de dezenas ou poucas centenas de ohms, o que altera amplitude e formato do pulso.
Situação típica: medições gerais em laboratório, quando não se precisa de casamento em RF e se deseja preservar amplitude máxima.
A leitura no osciloscópio será 20 % maior que o valor programado.
Se o cabo coaxial for de 50 Ω (caso mais comum), haverá descasamento entre 50 Ω da linha e 75 Ω da entrada, produzindo reflexões.
Em baixas frequências, isso passa despercebido; em altas frequências, causa ondas estacionárias, distorção na forma de onda e erros de amplitude.
Situação típica: equipamentos de vídeo (onde 75 Ω é padrão, como cabos RG59 e RG6). Não é ideal usar em conjunto com geradores e osciloscópios de 50 Ω.
4. Comparativo lado a lado
Configuração
Resultado teórico
Consequências práticas
50 Ω → 50 Ω
\(V_L = V_\text{set}\)
Casamento perfeito, sem reflexões, medições corretas.
50 Ω → Hi-Z
\(V_L \approx 2 \cdot V_\text{set}\)
Amplitude dobrada, ok em baixas freq., distorções em altas freq.
50 Ω → 75 Ω
\(V_L \approx 1.2 \cdot V_\text{set}\)
Erro de 20 % na leitura, reflexões em cabos de 50 Ω.
Em resumo:
50 Ω ↔ 50 Ω é o padrão quando se deseja fidelidade em RF.
Hi-Z é útil para não carregar o circuito em baixas frequências, mas engana na amplitude.
75 Ω só deve ser usado em sistemas projetados para ele (ex.: vídeo).
Cabos, Conexões e Terminação
1. O papel do cabo coaxial
Nos sistemas de medição entre geradores e osciloscópios, utiliza-se cabo coaxial por duas razões principais:
Blindagem eletromagnética, que reduz interferências externas;
Impedância característica bem definida, que garante transmissão adequada em altas frequências.
O cabo mais comum em eletrônica de bancada é o RG58, com 50 Ω de impedância característica. Já em vídeo e TV, predomina o RG59/RG6, com 75 Ω.
A escolha do cabo deve casar com a impedância da linha e dos instrumentos; caso contrário, surgem reflexões e ondas estacionárias, que distorcem o sinal.
2. Conectores em T (BNC-T)
Um conector em T permite derivar o sinal para dois caminhos (por exemplo, gerador → carga + osciloscópio). No entanto, há riscos:
Se os dois ramos não tiverem impedâncias casadas, o gerador “enxerga” um paralelo diferente de 50 Ω.
Exemplo: usar um T para conectar um osciloscópio (1 MΩ) em paralelo com um terminador de 50 Ω → o gerador ainda vê 50 Ω, mas o osciloscópio mostra metade da tensão (se também em 50 Ω).
Portanto, o T deve ser usado com cuidado e sempre garantindo que a impedância resultante seja 50 Ω na visão do gerador.
3. Resistores de terminação
O resistor de terminação é fundamental para absorver o sinal no final da linha, evitando reflexões.
Normalmente, usa-se um terminador de 50 Ω conectado à entrada do osciloscópio.
Em alta frequência, sem terminação, a linha se comporta como uma antena: o sinal vai, reflete no final, e volta somando ou subtraindo, criando formas de onda distorcidas.
Exemplo prático:
Cabo de 2 m de RG58, frequência de 50 MHz. Sem terminação: forma de onda aparece com overshoot e ringing. Com terminação: sinal limpo.
4. Importância da qualidade dos componentes
Cabo: perdas por atenuação aumentam com frequência; cabos antigos ou de baixa qualidade distorcem o sinal.
Conectores BNC: devem ser firmes e de baixa resistência de contato; conectores frouxos introduzem ruído e reflexões.
Terminadores: devem ser precisos (50,0 Ω ±1 %). Um resistor de carbono de 47 Ω improvisado não substitui um terminador de bancada.
Em sistemas de alta precisão (RF, telecom), usa-se inclusive terminadores calibrados e cabos de baixo atraso.
5. Resumo prático
Use RG58 (50 Ω) em medições de bancada com geradores e osciloscópios.
Evite cabos de vídeo (75 Ω) a menos que o sistema seja projetado para isso.
Use terminadores de 50 Ω em alta frequência ou quando a integridade do pulso é crítica.
Sempre que usar T’s, calcule a impedância equivalente para não carregar demais o gerador.
Seção 5 — Integração com Microcontroladores e Adaptação de Impedâncias
1. O problema da divergência de impedâncias
Enquanto geradores de funções e osciloscópios são padronizados em 50 Ω, a maioria dos microcontroladores não trabalha nessa faixa:
Entradas digitais/analógicas: tipicamente de alta impedância (centenas de kΩ a vários MΩ).
Saídas de GPIO: possuem resistência série interna na ordem de dezenas de ohms (não controlada e variável entre famílias). Isso cria uma situação onde não há casamento de impedâncias, mas sim um sistema em que um dispositivo de baixa potência (MCU) precisa se comunicar com instrumentos projetados para linhas de 50 Ω.
2. Exemplos práticos
Caso A: MCU → Osciloscópio (entrada Hi-Z)
Se você conecta diretamente um pino de GPIO ao osciloscópio em 1 MΩ, o sinal aparece normalmente, sem carga significativa.
Não há casamento de impedâncias, mas isso não importa em frequências baixas (até poucos MHz).
Problema: cabos longos e capacitância do cabo/osciloscópio podem degradar bordas rápidas.
Caso B: MCU → Osciloscópio (entrada 50 Ω)
Se o osciloscópio estiver configurado para 50 Ω, o GPIO não consegue sustentar a corrente (precisaria fornecer dezenas de mA).
Resultado: o nível lógico cai, podendo ficar abaixo de VIHV_\text{IH} e perder a forma de onda.
Nunca conectar GPIO diretamente em 50 Ω sem buffer.
Caso C: Gerador de função → MCU
O gerador “espera” 50 Ω de carga. Mas a entrada do microcontrolador é de MΩ, logo ele verá o dobro da tensão programada (como já explicado).
Exemplo: setando 1 Vpp no gerador (50 Ω), o MCU “vê” ~2 Vpp. Isso pode ultrapassar a faixa de entrada do ADC e até danificar a porta se não houver limitação.
3. Soluções práticas de adaptação
Resistor série
Inserir um resistor (100–220 Ω típico) entre GPIO e cabo coaxial.
Ajuda a amortecer reflexões em cabos curtos e protege o microcontrolador de correntes excessivas.
Divisor resistivo
Para reduzir amplitudes vindas de gerador para níveis seguros do microcontrolador (ex.: de 2 Vpp para 1 Vpp).
Exemplo: divisor 1:2 usando 1 kΩ + 1 kΩ.
Buffers de alta velocidade
Circuitos como 74HC125, 74LVC245 ou drivers dedicados permitem casar níveis e fornecer corrente adequada.
Muito usados quando se deseja conectar MCUs a cabos coaxiais terminados em 50 Ω.
Sondas passivas ×10
No caminho oposto (MCU → osciloscópio), usar uma sonda ×10 aumenta a impedância de entrada para ~10 MΩ, minimizando carga sobre o GPIO.
Acoplamento capacitivo
Em medições de sinais alternados, colocar um capacitor em série evita que tensões DC do microcontrolador ou do gerador prejudiquem o outro equipamento.
4. Regras de ouro em laboratório
Nunca ligar diretamente uma saída de microcontrolador em uma entrada de 50 Ω sem buffer ou resistor série.
Ao usar gerador de funções em um pino de MCU, sempre verificar:
a tensão RMS/pp realmente aplicada (lembrando do efeito do divisor de 50 Ω).
o limite absoluto do pino (geralmente 0≤Vin≤VDD+0.3 V0 \leq V_\text{in} \leq V_{DD}+0.3\,\text{V}).
Em medições rápidas, preferir sondas ×10 para não carregar o sistema.
Em sistemas de RF ou comunicação diferencial, usar transceptores dedicados (ex.: LVDS, RS-485) em vez de GPIO direto.
5. Síntese desta seção
A teoria de Thévenin explica bem por que os microcontroladores não se casam naturalmente com equipamentos de bancada. A solução está em adaptar níveis e impedâncias: resistores série, divisores, buffers e sondas adequadas garantem que a medição represente corretamente o sinal sem sobrecarregar o MCU.
A teoria de Thévenin mostrou-se uma ferramenta poderosa para compreender o comportamento real de circuitos de medição. Ao modelar um gerador de funções como uma fonte ideal de tensão em série com sua impedância de saída, e o osciloscópio como uma carga com impedância configurável, fica claro que a leitura obtida no instrumento é sempre resultado de um divisor de impedâncias.
Vimos que, no casamento perfeito de 50 Ω ↔ 50 Ω, a tensão exibida no osciloscópio corresponde exatamente ao valor ajustado no gerador, garantindo integridade do sinal em altas frequências. Já quando utilizamos a entrada em Hi-Z, o valor medido dobra em relação ao programado no gerador (quando este está configurado para carga de 50 Ω), comportamento aceitável em baixas frequências, mas que degrada a forma de onda em sinais rápidos devido à capacitância de entrada. O caso intermediário de 75 Ω mostrou que pequenas variações de impedância geram desvios na amplitude (cerca de 20%) e reflexões em cabos de 50 Ω.
Também discutimos a importância dos cabos coaxiais corretos (RG58 para 50 Ω), dos conectores em T, dos resistores de terminação e da qualidade dos componentes, especialmente em sistemas de alta frequência. A prática evidencia que detalhes aparentemente simples — como um terminador de baixa tolerância ou um cabo inadequado — podem comprometer toda a confiabilidade da medição.
Por fim, vimos que ao integrar microcontroladores nesse cenário, surgem desafios adicionais, já que suas entradas e saídas não seguem o padrão de 50 Ω. Para contornar divergências, utilizam-se resistores série, divisores de tensão, buffers de alta velocidade e sondas ×10. Assim, preserva-se a integridade do sinal, protege-se o microcontrolador e garante-se que a medição represente fielmente a realidade.
Em resumo, a compreensão da impedância e o uso consciente da equivalência de Thévenin permitem ao engenheiro tomar decisões práticas mais seguras e precisas em laboratório. Esse conhecimento, embora fundamentado em teoria clássica, tem impacto direto na qualidade das medições, na confiabilidade dos experimentos e na robustez dos sistemas eletrônicos desenvolvidos.
Imagens cedidas gentilmente pelo Eng. Reginaldo Padro.
Um Eterno Aprendiz.
Professor de Introdução a Programação, programação com JavaScript, TypeScript, C/C++ e Python
Professor de Eletrônica Básica
Professor de programação de Microcontroladores.
Embarcatecher
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